A lo largo de esta entrada definiremos lo que es un logaritmo y sus propiedades.
Definición. Sea $a>0$ con $a\neq 1$, $P>0$, se define el logaritmo en base $a$ de $P$, se denota por $\log_a(P)$, como el exponente al que hay que elevar la base $a$ para que la potencia obtenida nos dé $P$. Matemáticamente podemos escribirlo:
$\log_a(P)=b\Leftrightarrow a^b=P$ (1)
Ejemplo. Calcula los siguientes logaritmos:
a) $\log_2(8)$. Lo que hacemos es llamar $b$ al logaritmo y usamos la definición (1):
$\log_2(8)=b \Leftrightarrow 2^b=8 \Leftrightarrow 2^b=2^3 \Leftrightarrow b=3$
donde hemos expresado $8$ como potencia de la base del logaritmo, $2$, y en el último paso hemos usado que si tenemos la igualdad entre dos potencias de la misma base, entonces los exponente deben de ser iguales(esto no es más que la función exponencial $y=a^x$ con $a>0$ y $a\neq 1$, es inyectiva). De donde deducimos que $\log_2(8)=3$.
b) $\log_{\sqrt 3}(9)$. Razonando como en el caso anterior,
$\log_{\sqrt 3}(9)=b \Leftrightarrow (\sqrt 3)^b=9 \Leftrightarrow \left (3^{1/2}\right )^b=3^2\Leftrightarrow 3^{b/2}=3^2 \Leftrightarrow \dfrac b 2=2 \Leftrightarrow b=4$
donde hemos usado la definición (1), la expresión de un radical como potencia, y hemos usado las propiedades de las potencias(son de vital importancia controlarlas). En el último paso, pues hemos usado lo que en el ejemplo anterior, la igualdad entre potencias de la misma base implica la igualdad entre sus exponentes.
c) $\log_{1/7}(343)$. Como en los casos anteriores,
$\log_{1/7}(343)=b\Leftrightarrow \left (\dfrac 1 7\right )^b=7^3\Leftrightarrow \left (\dfrac 1 7\right )^b=343\Leftrightarrow (7^{-1})^b=7^3\Leftrightarrow 7^{-b}=7^3\Leftrightarrow -b=3\Leftrightarrow b=-3$
donde hemos usado que si $\dfrac a b\in \mathbb Q$: $\left ( \dfrac a b \right )^{-1}=\dfrac b a$, propiedades de las potencias y la igualdad entre potencias de la misma base.
Hay dos tipos de logaritmos que usaremos más(son los que están en las calculadoras): el logaritmo decimal y el logaritmo neperiano.
- El logaritmo decimal es un logaritmo que tiene como base $a=10$ y se representa sin hacer referencia a la base, esto es, $\log$.
- El logaritmo neperiano es un logaritmo que tiene como base $a=e$ donde $e$ es el número de Euler y en lugar de representar como $\log_e$, lo representaremos como $\ln$.
¿Para qué sirven los logaritmos? ¿De verdad se usan? He encontrado una entrada de un blog, Matemateando donde comenta algunos ejemplos en las distintas ciencias, donde se aplican los logaritmos. En próximas entradas resolveré problemas en los que se usa los logaritmos y veremos su utilidad.
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS.
Ahora daremos algunas propiedades de los logaritmos que nos ayudarán para calcular los logaritmos de expresiones complejas y para, más tarde, ayudarnos en la resolución de ecuaciones logarítmicas.
De aquí en adelante supondremos que $a,b>0$ y $a\neq 1$, $b\neq 1$ , $P,Q>0$.
- $\log_a(1)=0$.
- $\log_a(a)=1$.
- $\log_a(P\cdot Q)=\log_a(P)+\log_a(Q)$
- $\log_a\left (\dfrac P Q\right )=\log_a(P)-\log_a(Q)$.
- Si $n\in \mathbb Z$: $\log_a(P^n)=n\cdot \log_a(P)$.
- Si $n\in \mathbb N$: $\log_a(\sqrt[n] P)=\dfrac 1 n \cdot \log_a(P)$.
- $\log_a(P)=\dfrac{\log_b(P)}{\log_b(a)}$. Esta propiedad será muy útil cuando queramos dar una aproximación de un logaritmo que tenga como base(con las restricciones de la definición) un número que no sea ni 10 ni el número $e$.
Ejemplo 2. Sabiendo que $\log(P)=0,101$ y $\log(Q)=0,312$, calcula:
a) $\log(\sqrt P\cdot Q)$ b) $\log\left (\dfrac{P}{Q^2}\right )$ c) $\log_2(P\cdot \sqrt[3] Q)$
Solución:
a) $\log(\sqrt P\cdot Q)=\log(\sqrt P)+\log(Q)=\dfrac 1 2 \log(P)+\log(Q)=\dfrac 1 2\cdot 0,101+0,312=0,514$
donde hemos usado la propiedad 3, luego la propiedad 6 y finalmente, hemos sustituido $\log(P) $ por $0,101$ y, el $\log(Q)$ por $0,312$. Lo que es importante que se observe que en ningún momento hemos calculado ni $P$ ni $Q$.
b) $\log\left (\dfrac{P}{Q^5}\right )=\log(P)-\log(Q^5)=\log(P)-5\log(Q)=0,101-5\cdot 0,312=-1,459$
donde hemos usado la propiedad 4, a continuación la 5 y finalmente hemos sustituido los valores de cada uno de los logaritmos.
c) $\log_2(P\cdot \sqrt[3] Q)=\log_2(P)+\log_2(\sqrt[3]Q)=\log_2(P)+\dfrac 1 3\log_2(Q)$ (2)
donde hemos usado las propiedades 3 y después la 6. Sin embargo, ahora no podemos sustituir los valores de los logaritmos como en los casos anteriores, porque la base del logaritmo es $2$. Para poder usar los valores que nos da el ejemplo debemos usar un cambio de base, es decir, usar la propiedad 7.
c) $\log_2(P\cdot \sqrt[3] Q)=\log_2(P)+\log_2(\sqrt[3]Q)=\log_2(P)+\dfrac 1 3\log_2(Q)$ (2)
donde hemos usado las propiedades 3 y después la 6. Sin embargo, ahora no podemos sustituir los valores de los logaritmos como en los casos anteriores, porque la base del logaritmo es $2$. Para poder usar los valores que nos da el ejemplo debemos usar un cambio de base, es decir, usar la propiedad 7.
$\log_2(P)=\dfrac{\log(P)}{\log(2)}=\dfrac{0,101}{0,301}=0,3355$
$\log_2(Q)=\dfrac{\log(Q)}{\log(2)}=\dfrac{0,312}{0,301}=1,0365$
Sustituyendo en (2), tenemos:
$\log_2(P\cdot \sqrt[3] Q)=0,3355+\dfrac 1 3\cdot 1,0365=0,681$
Si aún así tienen alguna duda sería interesante ver los vídeos sobre logaritmos en Unicoos. Por favor, sería interesante suscribirse al canal en Youtube. Pongo los enlaces:
Vídeo 1 (en este vídeo utiliza las propiedades de los logaritmos para calcular logaritmos numéricos, que es distinto al ejemplo 2 que he hecho), vídeo 2(igual a mi ejemplo 2 pero más complicado), vídeo 3 y vídeo 4.
Próximamente resolverés ejercicios sobre logaritmos más complejos.