A continuación resolveré algunos ejercicios sobre fracciones algebraicas.
Ejercicio 1. Obtén la fracción irreducible en cada uno de los casos:
a) $\dfrac{5x^2-15x}{10x^3+15x^2}$
b) $\dfrac{2x-4}{x^2-4x+4}$
c) $\dfrac{6-x-x^2}{x^2+2x-8}$
d) $\dfrac{x^3-x^2-8x+12}{x^3-6x^2+2x+12}$
Solución:
Al igual que se hace para la simplificación de fracciones numéricas, lo que haremos será factorizar los polinomios que se encuentren tanto en el numerador como en el denominador, y a continuación, se simplificará los factores comunes:
a) $\dfrac{5x^2-15x}{10x^3+15x^2}=\dfrac{5x(x-3)}{5x^2(2x+3)}=\dfrac{x-3}{x(2x+3)}$
b)$ \dfrac{2x-4}{x^2-4x+4}=\dfrac{2(x-2)}{(x-2)^2}=\dfrac{2}{x-2}$
c) Factorizamos el numerador. Como es una ecuación de segundo grado completa resolveremos por la fórmula de Baskara: $-x^2-x+6=0$, entonces:
$x=\dfrac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot (-1)\cdot 6}}{2\cdot (-1)}=\dfrac{1\pm\sqrt{25}}{-2}=\dfrac{1\pm5}{-2}$
de donde obtenemos como soluciones $x=-3$ y $x=2$. Por tanto, la factorización del numerador es $-(x+3)(x-2)$. El signo $-$ de delante de la factorización es debido a que el coeficiente principal del polinomio es $-1$.
En cuanto al denominador, resolvemos la ecuación de segundo grado completa $x^2+2x-8=0$:
$x=\dfrac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot (-8)}}{2\cdot 1}=\dfrac{-2\pm\sqrt{36}}{2}=\dfrac{-2\pm6}{2}$
de donde obtenemos las soluciones $x=2$ y $x=-4$. Por tanto, la factorización del denominador queda $(x-2)(x+4)$. Así, nos quedaría:
$\dfrac{6-x-x^2}{x^2+2x-8}=\dfrac{-(x-2)(x+3)}{(x-2)(x+4)}=-\dfrac{x+3}{x+4}$
donde el signo $-$ que hay delante de la última fracción es el signo $-$ de la factorización del numerador.
d) Factorizamos el polinomio del numerador. Como es un polinomio de grado 3 mónico(coeficiente principal o de mayor grado igual a $1$) el procedimiento a seguir es haciendo uso de Ruffini usando como candidatas a ser raíces enteras los divisores del término independiente. Para ello, la factorización es $(x-2)^2(x+3)$. Haciendo lo propio para el denominador se tiene: $(x-2)\left [x-(2+\sqrt{10})\right ]\left [x-(2-\sqrt{10})\right ]$, por tanto,
$\dfrac{x^3-x^2-8x+12}{x^3-6x^2+2x+12}=\dfrac{(x-2)^2(x+3)}{(x-2)\left [x-(2+\sqrt{10})\right ]\left [x-(2-\sqrt{10})\right ]}$
$=\dfrac{(x-2)(x+3)}{\left (x-(2+\sqrt{10})\right )\left (x-(2-\sqrt{10})\right )}$
Ejercicio 2. Efectúa:
a) $\dfrac{5x}{x+3}+\dfrac{3}{x-2}=\dfrac{5x(x-2)+3(x+3)}{(x-2)(x+3)}=\dfrac{5x^2-10x+3x+9}{(x-2)(x+3)}=\dfrac{5x^2-7x+9}{(x-2)(x+3)}$
No se puede simplificar.
b) $\dfrac{2x-1}{x^2-4}-\dfrac{2}{x+2}=\dfrac{2x-1}{x^2-4}-\dfrac{2(x-2)}{x^2-4}=\dfrac{2x-1-(2x-4)}{x^2-4}=\dfrac{3}{x^2-4}$
donde hemos usado que el mínimo común múltiplo de los denominadores es $x^2-4$ porque en su factorización, $(x-2)(x+2)$, aparece el otro denominador. No se puede simplificar.
c)
$\dfrac{7x}{x-3}-\dfrac{5}{x+3}+\dfrac{6x}{x^2-9}=\dfrac{7x(x+3)-5(x-3)+6x}{x^2-9}=\dfrac{7x^2+21x-5x+15+6x}{x^2-9}=\dfrac{7x^2+22x+15}{x^2-9}$
donde el mínimo común múltiplo de los denominadores es $x^2-9$ ya que factoriza en $(x-3)(x+3)$.
donde el mínimo común múltiplo de los denominadores es $x^2-9$ ya que factoriza en $(x-3)(x+3)$.
d) $\dfrac{2x-6}{x^2-1}\cdot \dfrac{5x+5}{4x-12}=\dfrac{(2x-6)(5x-5)}{(x^2-1)(4x-12)}=\dfrac{10(x-3)(x-1)}{4(x-1)(x+1)(x-3)}=\dfrac{5}{2(x+1)}$
donde hemos sacado factor común, agrupado y factorizado $x^2-1=(x+1)(x-1)$ y finalmente, simplificado.
e) $\left (\dfrac x 3-\dfrac 3 x\right )\cdot \dfrac{x^2-9x}{x-3}=\dfrac{x^2-9}{3x}\cdot \dfrac{x^2-9x}{x-3}=\dfrac{x(x-3)(x+3)(x-9)}{3x(x-3)}=\dfrac{(x-9)(x+3)}{3}$
f) $\left (x+\dfrac{x}{x-1}\right ):\left (x-\dfrac{x}{x-1}\right )=\left (\dfrac{x(x-1)+x}{x-1}\right ):\left (\dfrac{x(x-1)-x}{x-1}\right )=\dfrac{x^2}{x-1}:\dfrac{x^2-2x}{x-1}=\dfrac{x^2(x-1)}{(x^2-2x)(x-1)}=\dfrac{x^2}{x^2-2x}=\dfrac{x^2}{x(x-2)}=\dfrac{x}{x-2}$
g) $\dfrac{x+1}{2x}\cdot \left (\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x-1}\right )=\dfrac{x+1}{2x}\cdot \left (\dfrac{x-1-(x+1)}{(x-1)(x+1)}\right )=\dfrac{x+1}{2x}\cdot \dfrac{-2}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{-2(x+1)}{2x(x+1)(x-1)}=-\dfrac{1}{x(x-1)}$