Una ecuación logarítmica es una ecuación en el que la incógnita queda afectada por un logaritmo.
Por ejemplo, $\log(x)-3=2$ o $\log_2(x^2-3)=2+\log_2(x-1)$ son ecuaciones logarítmicas porque la incógnita está dentro del logaritmo. Sin embargo, $x-x^3-\log(6)=0$ no es una ecuación logarítmica porque la incógnita $x$ no se encuentra dentro del logaritmo.
Para resolver una ecuación logarítmica, ¿qué debo saber? Se debe saber la definición de logaritmo, las propiedades y su aplicación a la inversa. Esto último, ¿en qué consiste? Hemos visto cómo aplicar las propiedades de los logaritmos a expresiones para más tarde calcular su valor, pero en ningún momento lo hemos hecho a la inversa, es decir, expresar "todo" en un solo logaritmo. Veamos un par de ejemplos:
Ejemplo 1. Agrupa en un sólo logaritmo $5 \log_a(x) + 3 \log_a(y) − 2 \log_a(z)$ siendo $a>0$ con $a\neq 1$, $x,y,z>0$.
Solución:
Veamos sumando por sumando. En primer lugar tenemos $5\log_a(x)$. Observamos que delante del logaritmo tiene un número, ¿qué hacemos? Pues aplicar la propiedad $\log_a(P^n)=n\log_a(P)$ (para $n\in \mathbb N$ y $P>0$) pero leyendo de derecha a izquierda. Esto quiere decir que todo número que multiplique a un logaritmo pasa "dentro" del logaritmo como exponente. Así, $5\log_a(x)=\log_a(x^5)$. Importante saber que si lo que hay dentro del logaritmo es algo más complejo como $5\log_a(x^2-1)=\log_a\left ((x^2-1)^5\right )$. De forma análoga obtendríamos $3\log_a(y)=\log_a(y^3)$ y $2\log_a(z)=\log_a(z^2)$. ¿Y ahora qué?
Pues ahora tenemos que introducir la suma y la resta. Si leemos la propiedad, para $a>0, a\neq 1$, $\log_a(P\cdot Q)=\log_a(P)+\log_a(Q)$ (respectivamente $\log_a\left (\dfrac P Q\right)=\log_a(P)-\log_a(Q)$) de derecha a izquierda, nos dice que si tenemos las suma (respectivamente la resta)de dos logaritmos, entonces lo podemos agrupar en un solo logaritmo y lo que queda dentro del logaritmo es el producto(respectivamente el cociente) de lo que había dentro en los otros dos. Es decir, $\log_a(4)+\log_a(5)=\log_a(4\cdot 5)=\log_a(20)$ o en el caso de la resta, $\log_a(20)-\log_a(5)=\log_a\left (\dfrac{20}{5}\right)=\log_a(4)$.
Finalmente, nuestro ejemplo queda de la siguiente manera:
$5\log_a(x)+3\log_a(y)-2\log_a(z)=\log_a(x^5)+\log_a(y^3)-\log_a(z^2)=\log_a(x^5\cdot y^3)-\log_a(z^2)=\log_a\left (\dfrac{x^5\cdot y^3}{z^2}\right )$
Ejemplo 2. Agrupa en un solo logaritmo $\dfrac 1 2\log(a)-\dfrac{1}{3}\log(b)+\dfrac 3 4\log(c)$, siendo $a,b,c>0$.
Solución: Aquí en este ejemplo observamos algo distinto al anterior. Aunque delante de los logaritmos haya números, éstos no son números naturales como ocurría en el ejemplo anterior, ahora son números racionales. En este caso, hay que tener cuidado porque dentro del logaritmo nos salen radicales. Veamos uno por uno.
El primero que nos encontramos es $\dfrac 1 2\log(a)$. Recordamos que si $n\in \mathbb N$, $a>0$, $a\neq 1$, $P>0$, entonces $\log_a(\sqrt[n]P)=\dfrac 1 n\log_a(P)$. Si leemos de derecha a izquierda, nos dice que si multiplicamos por una fracción cuyo numerador sea $1$, entonces la fracción se introduce dentro del logaritmo como la raíz de índice $n$, es decir, de índice el denominador de la fracción. Así, $\dfrac 1 2\log(a)=\log(\sqrt a)$. De la misma manera, tenemos que $\dfrac 1 3\log(b)=\log(\sqrt[3]b)$.
Pero, ¿en el tercero no pasa lo mismo? Aquí lo voy a hacer usando dos propiedades. Escribimos $\dfrac 3 4$ como $\dfrac 1 4\cdot 3$. Así primero introducimos el $3$ como en el ejemplo anterior y luego $\dfrac 1 4$. ¿Cómo nos quedaría?
$\dfrac 3 4 \log(c)=\dfrac 1 4\cdot 3\log(c)=\dfrac 1 4\log(c^3)=\log(\sqrt[4]{c^3})$
¿Por qué no puedo expresar $\dfrac 3 4$ como $3\cdot \dfrac 1 4$? ¿Sale lo mismo? La respuesta es afirmativa, ya que nos estamos basando en la propiedad de los radicales: $\left (\sqrt[n]a\right )^m=\sqrt[n]{a^m}$(*)(si elevamos a una potencia un radical, el exponente de la potencia entra dentro del radical elevando el radicando):
$\dfrac 3 4\log(c)=3\cdot \dfrac 1 4\log(x)=3\log\left (\sqrt[4]c\right )=\log\left ((\sqrt[4]c)^3\right )=\log(\sqrt[4]{c^3})$
donde hemos usado al propiedad (*) en la última igualdad.
Ahora, nos queda terminar el ejemplo introduciendo la suma y la resta como en el ejemplo anterior:
$\dfrac 1 2\log(a)-\dfrac 1 3\log(b)+\dfrac 3 4\log(c)=\log(\sqrt a)+\log(\sqrt[4]{c^3})-\log(\sqrt[3]b)=\log\left (\sqrt a\cdot \sqrt[4]{c^3}\right )-\log(\sqrt[3]b)=\log\left (\dfrac{\sqrt a\cdot \sqrt[4]{c^3}}{\sqrt[3]b}\right )$
Se deja como ejercicio al lector expresar las tres raíces como índice común.
Importante: Que haya puesto la suma antes que la resta es por comodidad para no complicar los cálculos. Si se sigue el mismo orden sale lo mismo.
Finalmente, nos queda conocer la última de las propiedades: Dos números distintos no pueden tener logaritmos iguales. Esto se traduce a que si tenemos una igualdad entre logaritmos los podemos "tachar". Matemáticamente lo podemos expresar en que si $a>0,a\neq 1$, $x,y>0$, entonces si $\log_a(x)=\log_a(y)\Leftrightarrow x=y$ (la función $\log_a$ que la veremos en próximas entradas, es inyectiva).
Con todo esto y si sabemos resolver ecuaciones polinómicas, ya estamos en disposición de resolver ecuaciones logarítmicas.
Ejercicio. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:
a) $2\log(x)-\log(x+6)=1$
b) $\log(x^2)=-2$
c) $\log(x)=3\log(5)$
d) $\log_2(x^2-1)-\log_2(x+1)=1$
Solución:
a) Observamos que en el primer miembro hay dos logaritmos pero en el segundo no hay ninguno. Por tanto, la idea en este caso, es juntar los logaritmos en el primer miembro para igualarlo a un número. Aquí, una vez hecho, aplicamos la definición de logaritmo:
$2\log(x)-\log(x+6)=1 \Leftrightarrow \log(x^2)-\log(x+6)=1\Leftrightarrow \log\left (\dfrac{x^2}{x+6}\right )=1\Leftrightarrow 10^1=\dfrac{x^2}{x+6}\Leftrightarrow $
$\Leftrightarrow x^2=10x+60\Leftrightarrow x^2-10x-60=0$
Nos da como soluciones $x=5-\sqrt{85}$ y $x=5+\sqrt{85}$. La primera la descartamos porque es negativa y el $\log(5-\sqrt{85})$ no existe. Por tanto, la solución es $x=5+\sqrt{85}$.
b) En esta ecuación hay que hacer poco. Tenemos un logaritmo igualado a un número. Por tanto, usando la definición de logaritmo:
$\log(x^2)=-2\Leftrightarrow 10^{-2}=x^2\Leftrightarrow x^2=\dfrac{1}{100}\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{\dfrac{1}{100}}\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{1}{10}$
En este caso, las dos soluciones son válidas, ya que al sustituir, el cuadrado las "vuelve" positivas.
c) Esta ecuación, después de que introduzcamos todo dentro del logaritmo del segundo miembro, tenemos una igualdad entre logaritmos.
$\log(x)=2\log(5)\Leftrightarrow \log(x)=\log(5^2)\Leftrightarrow x=5^2\Leftrightarrow x=25$
d) En esta ecuación tenemos logaritmos en el primer miembro y números, sin logaritmos en el segundo, por tanto, agrupamos los logaritmos del primer miembro en un logaritmo y a continuación usamos la definición de logaritmo:
$\log_2(x^2-1)-\log_2(x+1)=1\Leftrightarrow \log_2\left (\dfrac{x^2-1}{x+1}\right )=1\Leftrightarrow 2^1=\dfrac{x^2-1}{x+1}\Leftrightarrow \dfrac{x^2-1}{x+1}=2\Leftrightarrow x^2-1=2(x+1)\Leftrightarrow x^2-1=2x+2\Leftrightarrow x^2-2x-3=0$
Esta ecuación de segundo grado completa nos da como soluciones $x=-1$ y $x=3$. Sin embargo, $x=-1$ no es solución porque al sustituir en el segundo logaritmo nos da $\log_2(0)$, y no está definido. Se recuerda el hincapié de poner siempre $\log_a(P)$ con $a>0,a\neq 1$ y $\mathbf{P>0}$ .
En esta entrada he puesto ejemplos sencillos de aplicación de cómo se resuelven ecuaciones logarítmicas, sin embargo, animo a los lectores a que comenten si tienen alguna ecuación logarítmica más complicada que no sepan hacer o bien, si las tienen resuelta, envíenmela y la publico en el blog con el nombre del autor.