Nos piden que probemos para todo $n\in \mathbb N$:
$\displaystyle \int(a^2-x^2)^n\ dx=\dfrac{x(a^2-x^2)^n}{2n+1}+\dfrac{2na^2}{2n+1}\int(a^2-x^2)^{n-1}\ dx$
Solución:
Nos vamos a basar en el método de integración por partes.: $\displaystyle \int udv =uv-\int vdu$ (1). En nuestro ejemplo, llamamos $u=(a^2-x^2)^{n}$ y $dv=1dx$. Por tanto, $du=-2nx(a^2-x^2)^{n-1}$ y $v=x$, por tanto basándonos en (1):
$\displaystyle \int(a^2-x^2)^n\ dx=x(a^2-x^2)^n-\int x\cdot (-2nx)(a^2-x^2)^{n-1}=x(a^2-x^2)^n-2n\int (-x^2)(a^2-x^2)^{n-1}$ (2)
Lo que vamos a hacer es modificar el integrando de la última integral:
$-x^2(a^2-x^2)^{n-1}=(a^2-a^2-x^2)(a^2-x^2)^{n-1}=-a^2(a^2-x^2)^{n-1}+(a^2-x^2)(a^2-x^2)^{n-1}$
Lo que hemos hecho ha sido sumar y restar la misma cantidad $a^2$ para que sigamos teniendo el mismo integrando y después hemos utilizado la propiedad distributiva, teniendo:
$-x^2(a^2-x^2)^{n-1}=-a^2(a^2-x^2)^{n-1}+(a^2-x^2)^n$
Sustituyendo en (2), nos queda:
$\displaystyle \int(a^2-x^2)^n\ dx=x(a^2-x^2)^n+2na^2\int(a^2-x^2)^{n-1}\ dx-2n\int(a^2-x^2)^n\ dx$
Pasando la última integral del segundo miembro(que es la misma que la del primero) nos queda:
$\displaystyle (2n+1)\int (a^2-x^2)^n\ dx=x(a^2-x^2)^n+2na^2\int (a^2-x^2)^{n-1}\ dx$
y finalmente dividiendo por $2n+1$, nos queda:
$\displaystyle \int (a^2-x^2)^n\ dx=\dfrac{x(a^2-x^2)^n}{2n+1}+\dfrac{2na^2}{2n+1}\int(a^2-x^2)^{n-1}\ dx$