Fórmulas identidades trigonométricas. Aplicaciones.

Aprovecho esta entrada para enumerar las distintas propiedades que tienen las razones trigonométricas y las usaré para demostrar algunas identidades trigonométricas.

Las más básicas que hay que saber son $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$, la identidad fundamental de la trigonometría $\sin^2 x+\cos ^2x=1$, y de que  ésta, se obtiene: $1+\tan^2x=\dfrac{1}{\cos^2x}$. Cualquier duda sobre los conceptos básicos de la trigonométria podéis consultarlos los apuntes de trigonometría de 1ºBachillerato de Ciencias que se encuentran en MaTeX. Son buenísimos. En caso de que surgan dudas, por favor escribir aquí.

Ecuaciones logarítmicas

Una ecuación logarítmica es una ecuación en el que la incógnita queda afectada por un logaritmo.  

Por ejemplo, $\log(x)-3=2$ o $\log_2(x^2-3)=2+\log_2(x-1)$ son ecuaciones  logarítmicas porque la incógnita está dentro del logaritmo. Sin embargo, $x-x^3-\log(6)=0$ no es una ecuación logarítmica porque la incógnita $x$ no se encuentra dentro del logaritmo.

Integración por reducción

Nos piden que probemos para todo $n\in \mathbb N$:

 $\displaystyle \int(a^2-x^2)^n\ dx=\dfrac{x(a^2-x^2)^n}{2n+1}+\dfrac{2na^2}{2n+1}\int(a^2-x^2)^{n-1}\ dx$

Logaritmos

A lo largo de esta entrada definiremos lo que es un logaritmo y sus propiedades.

Definición. Sea $a>0$ con $a\neq 1$, $P>0$, se define el logaritmo en base $a$ de $P$, se denota por $\log_a(P)$, como el exponente al que hay que elevar la base $a$ para que la potencia obtenida nos dé $P$. Matemáticamente podemos escribirlo:

$\log_a(P)=b\Leftrightarrow a^b=P$        (1)

Fracciones algebraicas

A continuación resolveré algunos ejercicios sobre fracciones algebraicas.

Ejercicio 1. Obtén la fracción irreducible en cada uno de los casos:

a) $\dfrac{5x^2-15x}{10x^3+15x^2}$

b) $\dfrac{2x-4}{x^2-4x+4}$

c) $\dfrac{6-x-x^2}{x^2+2x-8}$

d) $\dfrac{x^3-x^2-8x+12}{x^3-6x^2+2x+12}$

Teorema del resto

El teorema del resto dice:

Teorema. Dado $P(x)$ un polinomio y $a\in \mathbb R$. El resto de dividir $P(x)$ entre $x-a$ es $P(a)$. 

Otra variante: el resto de dividir $P(x)$ entre $x+a$ es $P(-a)$.

Un claro ejemplo de aplicación de este teorema puede ser el siguiente:

Halla el valor de $k$ para que el polinomio $P(x)=kx^3+3(k-2)x^2-5kx+8$ sea divisible por $x+2$.

La información que nos da el ejemplo es que $P(x)$ es divisible por $x+2$. Esto quiere decir que el resto de la división es $0$. 

Por otro lado, usando el teorema del resto, se tiene que el resto de la división es $P(-2)$.

Como los dos restos son los mismos, se tiene que $P(-2)=0$. Calculemos $P(-2)$:

$P(-2)=k (-2)^3+3(k-2)(-2)^2-5k(-2)+8=-8k+12(k-2)+10k+8=14k-16$

Si resolvemos $P(-2)=0$ entonces $14k-16=0$, de donde, $k=\dfrac{16}{14}=\dfrac 8 7$.

Derivadas de funciones inversas

La razón de escribir esta entrada fue cuando un seguidor de Unicoos en Facebook preguntaba cómo calcular la derivada de la función $y=\arcsin(x)$ usando el teorema de la función inversa.

Integral definida con raíces cuadradas

Calcular $\displaystyle \int_1^4\dfrac{\sqrt x+e^{\sqrt x}}{\sqrt x}\  dx$ .    (1)

Problema 2. Geometría analítica

En un triángulo isósceles, el lado desigual está sobre los puntos $A(2, 2)$ y $B(5, 3)$. Calcula el tercer vértice sabiendo que se encuentra sobre la recta $x -y+ 1 = 0$.

Solución:

Si llamamos $ABC$ al triángulo isósceles de lado desigual $\overline{AB}$, debemos saber que en un triángulo isósceles la mediatriz del lado desigual pasa por el vértice $C$. Además el problema nos dice que se encuentra sobre la recta de ecuación $x-y+1=0$, entonces el vértice $C$ será la intersección de esta recta con la mediatriz del segmento $\overline{AB}$. 

Recordamos que la mediatriz del segmento $\overline{AB}$ es una recta perpendicular a la recta que une los puntos $A$ y $B$ y pasa por el punto medio de esos dos vértices. 

Así el punto medio de $A$ y $B$ es $M=\left (\dfrac{2+5}{2},\dfrac{2+3}{2}\right )=\left (\dfrac 7 2,\dfrac 5 2\right )$. Por otro lado, si $m$(siempre que no sea una recta horizontal) es la pendiente de la recta que pasa por $A$ y $B$, entonces la pendiente de la recta perpendicular es $m'=-\dfrac 1 m$. Además sabemos que:

$m=\dfrac{3-2}{5-2}=\dfrac{1}{3}$

Por tanto, la mediatriz tiene como pendiente $m'=-3$. La ecuación en forma punto$-$pendiente de la recta que pasa por un punto $(x_0,y_0)$ y tiene como pendiente $m$, viene dada por: $y-y_0=m(x-x_0)$ o equivalentemente, $y=m(x-x_0)+y_0$. Particularizando para nuestro caso,

$y=-3\cdot \left (x-\dfrac 7 2\right )+\dfrac 5 2$

Si operamos: $y=-3x+13$ es la ecuación de la mediatriz del lado $AB$. Finalmente, como hemos comentado al principio, el vértice $C$ es la solución del sistema:

$\left \{\begin{array}{rcr} 3x+y&=&13\\[0.2cm] x-y&=&-1\\ \end{array}\right .$

La solución de este sistema de ecuaciones es $x=3$ e $y=4$. Concluimos que el vértice buscado es $C(3,4)$.