Ejercicio 1. Un rectángulo muy especial es el rectángulo aúreo, que es armonioso en sus dimensiones. Es muy sencillo construirlo. Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial. De esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo. Si el lado del cuadrado vale dos unidades, el lado mayor del rectángulo vale $1+\sqrt 5$ por lo que la razón entre los dos lados es $\phi=\dfrac{1+\sqrt 5}{2}$. Demuestra esta propiedad, la razón entre los dos lados del rectángulo es $\phi$. Recuerda que si $a$ y $b$ son los lados del rectángulo, la razón es $\dfrac a b$. Comprueba que tu DNI es un rectángulo áureo.
Ejercicio 2. Demuestra que, si $\phi$ es el número aúreo que:
$\phi=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\phi}}}$
Indicación: Recuerda que el número $\phi$ es una raíz del polinomio $x^2-x-1$.
¿Se podría continuar esta fracción de forma indefinida dando lugar a lo que se conoce con el nombre de fracción continua?
Ejercicio 3. En la mezquita de Córdoba aparecen unos rectángulos que no están en proporción áurea sino en la relación $c=1,3065..$. Dicha razón es conocida como el número cordobés o razón cordobesa. Es relación entre el radio de la circunferencia circunscrita al octógono regular y el lado de éste. Demostrar que $c=\dfrac{1}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}$. Os adjunto una imagen por si os sirve de ayuda:
Nota: Este ejercicio requiere de la aplicación del teorema del coseno.