Ecuaciones polinómicas
Se llaman ecuaciones polinómicas con una incógnita a las ecuaciones que son de la forma $P(x)=0$ donde $P(x)$ es un polinomio. El grado de una ecuación polinómica es el grado del polinomio.
La resolución de este tipo de ecuaciones es muy amplio pero nosotros nos centraremos en las de primer grado, segundo grado, reducibles a las de segundo grado(bicuadradas, etc.) y las de grado superior que se puedan resolver por los métodos algebraicos vistos en el tema anterior.
En cuanto a las ecuaciones de primer grado no voy a realizar ningún tipo de explicación ya que están demasiado trilladas desde primer curso de la ESO.
Por tanto, vamos a empezar con las ecuaciones polinómicas de 2º grado.
Una ecuación se dice de 2º grado si es equivalente(usando la transposición de términos) a una del tipo
$ax^2+bx+c=0$
donde $a\neq 0$. Obsérvese trivialmente que si $a=0$ la ecuación es de primer grado.
Podemos distinguir dos tipos: incompletas y completa.
- Incompletas. Se llaman así porque a la ecuación genérica que aparece en la definición de segundo grado le falta un término de grado inferior a dos o ambos términos de grado inferior a dos.
- Completa: se llaman así porque la ecuación de segundo grado no le falta ni un término.
Dentro de las incompletas vamos a distinguir tres casos:
- Caso $ax^2=0$. En este caso la solución es $x=0$ que es doble.
- Caso $ax^2+bx=0$. Para este caso lo que hacemos es sacar factor común $x$, obteniendo: $x(ax+b)=0$ de donde una solución es $x=0$ y la otra es la solución de la ecuación de primer grado $ax+b=0$.
- Caso $ax^2+c=0$. En este caso, procedemos a despejar $x^2$ obteniendo:
$x^2=-\dfrac{c}{a} \Leftrightarrow x=\pm\sqrt{-\dfrac{c}{a}}$
Para resolver la ecuación completa $ax^2+bx+c=0$ usamos la fórmula:
$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
Ejercicio. Resuelve las siguientes ecuaciones:
- $\dfrac{2x}{x-2}=\dfrac{x}{x+1}$
- $5x^2-3x-3-x=3x^2-3x+6$
- $(x+1)^2-(x-2)^2=(x+3)^2+x^2-20$
- $\dfrac{x^2-2x+5}{2}-\dfrac{x^2+3x}{4}=\dfrac{x^2-4x+15}{6}$
- $\dfrac{x(x-2)}{2}+\dfrac{x(x+2)}{4}=\dfrac{(3x-2)^2}{8}+1$
- $0.5(x-1)^2-0.25(x+1)^2=4-x$
Ecuaciones de grado superior a dos.
El caso general, cuando tenemos un polinomio de grado mayor que dos. Se plantean problemas del tipo $P(x)=0$, como hemos dicho anteriormente, donde $P(x)$ es un polinomio. ¿Cómo resolvemos estas ecuaciones? ¿Qué significa que $a$ es solución de $P(x)=0$? En el tema de polinomios significaba que el valor numérico de $P(x)$ en $x=a$ es cero. Esto no es más que decir que $a$ es una raíz del polinomio. Por tanto, para resolver $P(x)=0$ lo que haremos es buscar las raíces del polinomio $P(x)$ y éstas, son las soluciones de la ecuación.
Veamos un ejemplo. Resuelve la ecuación $x^4-5x^3+7x^2-5x+6=0$. Para resolver esta ecuación vamos a buscar las raíces del polinomio $P(x)=x^4-5x^3+7x^2-5x+6$. Para ello, vamos a buscar las raíces enteras de este polinomio. Recordamos que se encuentran entre los divisores del término independiente. Estas candidatas son $\pm1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$. Probemos una por una por el método de Ruffini. Las que sirven son $x=2$ y $x=3$. Ya que después de hacer dos veces Ruffini con esas dos raíces nos da el polinomio $x^2+1$ que es irreducible. Por tanto, las soluciones de $x^4-5x^3+7x^2-5x+6=0$ son $x=2$ y $x=3$.
Ejercicios. Resuelve las siguientes ecuaciones:
Ecuaciones bicuadradas.
El caso general, cuando tenemos un polinomio de grado mayor que dos. Se plantean problemas del tipo $P(x)=0$, como hemos dicho anteriormente, donde $P(x)$ es un polinomio. ¿Cómo resolvemos estas ecuaciones? ¿Qué significa que $a$ es solución de $P(x)=0$? En el tema de polinomios significaba que el valor numérico de $P(x)$ en $x=a$ es cero. Esto no es más que decir que $a$ es una raíz del polinomio. Por tanto, para resolver $P(x)=0$ lo que haremos es buscar las raíces del polinomio $P(x)$ y éstas, son las soluciones de la ecuación.
Veamos un ejemplo. Resuelve la ecuación $x^4-5x^3+7x^2-5x+6=0$. Para resolver esta ecuación vamos a buscar las raíces del polinomio $P(x)=x^4-5x^3+7x^2-5x+6$. Para ello, vamos a buscar las raíces enteras de este polinomio. Recordamos que se encuentran entre los divisores del término independiente. Estas candidatas son $\pm1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$. Probemos una por una por el método de Ruffini. Las que sirven son $x=2$ y $x=3$. Ya que después de hacer dos veces Ruffini con esas dos raíces nos da el polinomio $x^2+1$ que es irreducible. Por tanto, las soluciones de $x^4-5x^3+7x^2-5x+6=0$ son $x=2$ y $x=3$.
Ejercicios. Resuelve las siguientes ecuaciones:
- $x^3+2x^2-5x-6=0$
- $-x^4+x^3-4x^2+4x=0$
- $x^3-7x+6=0$
- $x^5-13x^3+36x=0$
Ecuaciones bicuadradas.
Como su propio nombre indica "bicuadrada" dos veces al cuadrado. Así, se dice que una ecuación es bicuadrada si es equivalente a una del tipo:
$ax^4+bx^2+c=0,\ \ \ \ \ a\neq 0$
Para resolver estas ecuaciones vamos realizar el cambio $x^2=t$ para transformar la ecuación bicuadrada en una de segundo grado. Obsérvese que $x^4=(x^2)^2$, luego $x^4=t^2$, de donde la ecuación $ax^4+bx+c=0$ se transforma en $at^2+bt+c=0$. Esta ecuación la resolvemos como la de segundo grado. Sin embargo, obtenemos los valores de $t$ y no de $x$. Así si $T$ es una solución de $at^2+bt+c=0$, entonces como $x^2=t$ tendremos que $x^2=T$. Resolviendo, tenemos $x=\pm\sqrt T$.
Veamos un ejemplo. Resuelve la ecuación $x^4-9x^2+8=0$. Esta ecuación es bicuadrada, por lo que hacemos el cambio $x^2=t$ de donde pasamos a:
$t^2-9t+8=0\Leftrightarrow t=\dfrac{9\pm\sqrt{(-9)^2-4\cdot 1\cdot 8}}{2\cdot 1}=\dfrac{9\pm7}{2}$
cuyas soluciones son $t=8$ y $t=1$. Busquemos las soluciones de la ecuación bicuadrada, como $x^2=t$ y $t=8$ tenemos $x^2=8$, resolviendo $x=\pm \sqrt8=\pm2\sqrt 2$. Por otro lado, razonando de igual forma, $x^2=1$, se tiene $x=\pm 1$. Por tanto, las soluciones $x^4-9x^2+8=0$ son $2\sqrt 2$, $-2\sqrt 2$, $1$ y $-1$.
Ejercicio. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:
- $x^4-5x^2+4=0$
- $x^4+3x^2+2=0$
- $x^2+3x^2-4=0$
- $(x^2-2)^2=1$
- $\dfrac{3x^4-1}{4}+\dfrac 1 2\left (x^4-2-\dfrac 1 2x^2\right )=\dfrac{x^2-5}{4}$
Ecuaciones trinomias reducibles a una ecuación de 2º grado.
Otro tipo particular de ecuaciones polinómicas son aquellas que se pueden reducir, mediante un cambio de variable, a una ecuación de segundo grado. Estas son equivalentes a unas del tipo $ax^{2n}+bx^n+c=0$. En este caso, el cambio de variable o de incógnita es $t=x^n$.
Ya que $x^{2n}=(x^n)^2$. El razonamiento es el mismo que el usado para las ecuaciones bicuadradas. ¿Cómo vamos a identificar este tipo de ecuaciones? Primero tenemos que observar que la ecuación tiene tres términos. Una vez hecho esto, lo que hacemos es coger el término de mayor grado de la ecuación y ver si se puede expresar como $(x^n)^2$. Si esto se puede hacer, vemos si tiene el término de grado $n$ y el independiente.
Veamos un ejemplo.
Resuelve la ecuación $x^6-9x^3+8=0$. Observamos en primer lugar que la ecuación tiene tres términos. Nos fijamos en el término de mayor grado: $x^6=x^{2\cdot 3}=(x^3)^2$. Además observamos que tenemos un término de grado tres y el término independiente. Por tanto, hacemos el cambio de variable $t=x^3$, quedando la ecuación $t^2-9t+8=0$. Si resolvemos esta ecuación de segundo grado:
$t=\dfrac{9\pm\sqrt{81-4\cdot 8}}{2}=\dfrac{9\pm\sqrt{49}}{2}=\dfrac{9\pm7}{2}$
Obtenemos las soluciones $t=8$ y $t=1$. Pero estas no son las soluciones, debemos deshacer el cambio.
- $t=8$ y por otro lado $t=x^3$ de donde obtenemos que $x^3=8$. Tiene como solución $x=\sqrt[3]8=2$. Comprueba que no tiene ninguna solución más. Para ello, considera el polinomio $x^3-8$ y comprueba que solo tiene la raíz 3.
- $t=1$ y por otro lado $t=x^3$ de donde obtenemos que $x^3=1$. Así, la solución que tenemos es $x=1$. Se prueba, al igual que el otro caso, solo tiene esa solución.
- $x^6+2x^2-3=0$
- $x^{10}-622x^5-1875=0$