A continuación escribo una serie de ejercicios del tema 1: Números reales para que repaséis.
Ejercicio 1. Representar y expresar en notación matemática los siguientes intervalos:
a) $A=(-\infty,3]$ b) $B=(-3,5]$ c) $A\cup B$ d) $A\cap B$
Ejercicio 2. Opera y simplifica:
a) $(2\sqrt 3-3\sqrt 2)^2$ b) $\dfrac{1}{(\sqrt 3-\sqrt 2)^2}$ c) $\dfrac{1}{\sqrt{3+\sqrt 2}}$ d) $\sqrt[3]{\dfrac{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt[3]{4}}}}{\sqrt[4]{4\sqrt{8\sqrt[3]{16}}}}}$
Ejercicio 3. Racionaliza la expresión: $\sqrt{\dfrac{2\sqrt 7+1}{2\sqrt 7-1}}$
Ejercicio 4. Simplifica lo máximo posible aplicando las propiedades de las potencias y raíces:
a) $\dfrac{\sqrt[8]{8}\cdot 2^{-\frac 1 3}\cdot \sqrt 2}{2^{\frac 3 5}\cdot 4\cdot \sqrt[4] 8}$ b)$\sqrt{x^2+\sqrt[3]{19x^6+4\sqrt{4x^{12}}}}$ c)$\dfrac 1 3 \sqrt[3]{16}-\dfrac 1 4\sqrt[4]{250}-\dfrac 1 2\sqrt[3]{375}+\sqrt[6]4$
Ejercicio 5. Razonar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
a) $x^{-2}$ es un número entero positivo o cero para cualquier valor de $x\in \mathbb R$.
b) $\sqrt{3-\sqrt[3]{8}}$ es un número irracional.
c) El logaritmo de cualquier número real positivo existe y además siempre es positivo.
Ejercicio 6. Calcula el valor de las siguientes expresiones:
a) $\log_2\left (\dfrac{\sqrt[6]{64}\cdot 4^2}{2^5\cdot \sqrt[3]{512}}\right )$ b) $\log_3\left (\dfrac{27\cdot \sqrt{729}}{81\cdot \sqrt[3]{27}}\right )$ c) $\log_7\left (\dfrac{49\cdot \sqrt[3]{343}}{\sqrt{2401}}\right )$
Ejercicio 7. Sabiendo que $\log(2)\approx 0,3$ y $\log(3)\approx 0,48$, calcular:
a)$\log(8)$ b)$\log(0,048)$ c)$\log\left (\dfrac{\sqrt{0,025}}{8}\right )$ d)$\log\left (\dfrac{3,2^3\cdot 0,64^5}{0,0125\cdot \sqrt[4]{80^3}}\right )$
Ejercicio 8. Expresa con tres cifras significativas y da el error absoluto y relativo que se comete:
a) $958,72$ b)$1,593$ c)$233679$
Ejercicios de nivel. Parte 1.
Ejercicio 1. Un rectángulo muy especial es el rectángulo aúreo, que es armonioso en sus dimensiones. Es muy sencillo construirlo. Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial. De esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo. Si el lado del cuadrado vale dos unidades, el lado mayor del rectángulo vale $1+\sqrt 5$ por lo que la razón entre los dos lados es $\phi=\dfrac{1+\sqrt 5}{2}$. Demuestra esta propiedad, la razón entre los dos lados del rectángulo es $\phi$. Recuerda que si $a$ y $b$ son los lados del rectángulo, la razón es $\dfrac a b$. Comprueba que tu DNI es un rectángulo áureo.
Ejercicio 2. Demuestra que, si $\phi$ es el número aúreo que:
$\phi=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\phi}}}$
Indicación: Recuerda que el número $\phi$ es una raíz del polinomio $x^2-x-1$.
¿Se podría continuar esta fracción de forma indefinida dando lugar a lo que se conoce con el nombre de fracción continua?
Ejercicio 3. En la mezquita de Córdoba aparecen unos rectángulos que no están en proporción áurea sino en la relación $c=1,3065..$. Dicha razón es conocida como el número cordobés o razón cordobesa. Es relación entre el radio de la circunferencia circunscrita al octógono regular y el lado de éste. Demostrar que $c=\dfrac{1}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}$. Os adjunto una imagen por si os sirve de ayuda:
Nota: Este ejercicio requiere de la aplicación del teorema del coseno.
Ecuaciones polinómicas
Ecuaciones polinómicas
Se llaman ecuaciones polinómicas con una incógnita a las ecuaciones que son de la forma $P(x)=0$ donde $P(x)$ es un polinomio. El grado de una ecuación polinómica es el grado del polinomio.
La resolución de este tipo de ecuaciones es muy amplio pero nosotros nos centraremos en las de primer grado, segundo grado, reducibles a las de segundo grado(bicuadradas, etc.) y las de grado superior que se puedan resolver por los métodos algebraicos vistos en el tema anterior.
En cuanto a las ecuaciones de primer grado no voy a realizar ningún tipo de explicación ya que están demasiado trilladas desde primer curso de la ESO.
Por tanto, vamos a empezar con las ecuaciones polinómicas de 2º grado.
Una ecuación se dice de 2º grado si es equivalente(usando la transposición de términos) a una del tipo
$ax^2+bx+c=0$
donde $a\neq 0$. Obsérvese trivialmente que si $a=0$ la ecuación es de primer grado.
Podemos distinguir dos tipos: incompletas y completa.
- Incompletas. Se llaman así porque a la ecuación genérica que aparece en la definición de segundo grado le falta un término de grado inferior a dos o ambos términos de grado inferior a dos.
- Completa: se llaman así porque la ecuación de segundo grado no le falta ni un término.
Dentro de las incompletas vamos a distinguir tres casos:
- Caso $ax^2=0$. En este caso la solución es $x=0$ que es doble.
- Caso $ax^2+bx=0$. Para este caso lo que hacemos es sacar factor común $x$, obteniendo: $x(ax+b)=0$ de donde una solución es $x=0$ y la otra es la solución de la ecuación de primer grado $ax+b=0$.
- Caso $ax^2+c=0$. En este caso, procedemos a despejar $x^2$ obteniendo:
$x^2=-\dfrac{c}{a} \Leftrightarrow x=\pm\sqrt{-\dfrac{c}{a}}$
Para resolver la ecuación completa $ax^2+bx+c=0$ usamos la fórmula:
$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
Ejercicio. Resuelve las siguientes ecuaciones:
- $\dfrac{2x}{x-2}=\dfrac{x}{x+1}$
- $5x^2-3x-3-x=3x^2-3x+6$
- $(x+1)^2-(x-2)^2=(x+3)^2+x^2-20$
- $\dfrac{x^2-2x+5}{2}-\dfrac{x^2+3x}{4}=\dfrac{x^2-4x+15}{6}$
- $\dfrac{x(x-2)}{2}+\dfrac{x(x+2)}{4}=\dfrac{(3x-2)^2}{8}+1$
- $0.5(x-1)^2-0.25(x+1)^2=4-x$
Ecuaciones de grado superior a dos.
El caso general, cuando tenemos un polinomio de grado mayor que dos. Se plantean problemas del tipo $P(x)=0$, como hemos dicho anteriormente, donde $P(x)$ es un polinomio. ¿Cómo resolvemos estas ecuaciones? ¿Qué significa que $a$ es solución de $P(x)=0$? En el tema de polinomios significaba que el valor numérico de $P(x)$ en $x=a$ es cero. Esto no es más que decir que $a$ es una raíz del polinomio. Por tanto, para resolver $P(x)=0$ lo que haremos es buscar las raíces del polinomio $P(x)$ y éstas, son las soluciones de la ecuación.
Veamos un ejemplo. Resuelve la ecuación $x^4-5x^3+7x^2-5x+6=0$. Para resolver esta ecuación vamos a buscar las raíces del polinomio $P(x)=x^4-5x^3+7x^2-5x+6$. Para ello, vamos a buscar las raíces enteras de este polinomio. Recordamos que se encuentran entre los divisores del término independiente. Estas candidatas son $\pm1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$. Probemos una por una por el método de Ruffini. Las que sirven son $x=2$ y $x=3$. Ya que después de hacer dos veces Ruffini con esas dos raíces nos da el polinomio $x^2+1$ que es irreducible. Por tanto, las soluciones de $x^4-5x^3+7x^2-5x+6=0$ son $x=2$ y $x=3$.
Ejercicios. Resuelve las siguientes ecuaciones:
Ecuaciones bicuadradas.
El caso general, cuando tenemos un polinomio de grado mayor que dos. Se plantean problemas del tipo $P(x)=0$, como hemos dicho anteriormente, donde $P(x)$ es un polinomio. ¿Cómo resolvemos estas ecuaciones? ¿Qué significa que $a$ es solución de $P(x)=0$? En el tema de polinomios significaba que el valor numérico de $P(x)$ en $x=a$ es cero. Esto no es más que decir que $a$ es una raíz del polinomio. Por tanto, para resolver $P(x)=0$ lo que haremos es buscar las raíces del polinomio $P(x)$ y éstas, son las soluciones de la ecuación.
Veamos un ejemplo. Resuelve la ecuación $x^4-5x^3+7x^2-5x+6=0$. Para resolver esta ecuación vamos a buscar las raíces del polinomio $P(x)=x^4-5x^3+7x^2-5x+6$. Para ello, vamos a buscar las raíces enteras de este polinomio. Recordamos que se encuentran entre los divisores del término independiente. Estas candidatas son $\pm1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$. Probemos una por una por el método de Ruffini. Las que sirven son $x=2$ y $x=3$. Ya que después de hacer dos veces Ruffini con esas dos raíces nos da el polinomio $x^2+1$ que es irreducible. Por tanto, las soluciones de $x^4-5x^3+7x^2-5x+6=0$ son $x=2$ y $x=3$.
Ejercicios. Resuelve las siguientes ecuaciones:
- $x^3+2x^2-5x-6=0$
- $-x^4+x^3-4x^2+4x=0$
- $x^3-7x+6=0$
- $x^5-13x^3+36x=0$
Ecuaciones bicuadradas.
Como su propio nombre indica "bicuadrada" dos veces al cuadrado. Así, se dice que una ecuación es bicuadrada si es equivalente a una del tipo:
$ax^4+bx^2+c=0,\ \ \ \ \ a\neq 0$
Para resolver estas ecuaciones vamos realizar el cambio $x^2=t$ para transformar la ecuación bicuadrada en una de segundo grado. Obsérvese que $x^4=(x^2)^2$, luego $x^4=t^2$, de donde la ecuación $ax^4+bx+c=0$ se transforma en $at^2+bt+c=0$. Esta ecuación la resolvemos como la de segundo grado. Sin embargo, obtenemos los valores de $t$ y no de $x$. Así si $T$ es una solución de $at^2+bt+c=0$, entonces como $x^2=t$ tendremos que $x^2=T$. Resolviendo, tenemos $x=\pm\sqrt T$.
Veamos un ejemplo. Resuelve la ecuación $x^4-9x^2+8=0$. Esta ecuación es bicuadrada, por lo que hacemos el cambio $x^2=t$ de donde pasamos a:
$t^2-9t+8=0\Leftrightarrow t=\dfrac{9\pm\sqrt{(-9)^2-4\cdot 1\cdot 8}}{2\cdot 1}=\dfrac{9\pm7}{2}$
cuyas soluciones son $t=8$ y $t=1$. Busquemos las soluciones de la ecuación bicuadrada, como $x^2=t$ y $t=8$ tenemos $x^2=8$, resolviendo $x=\pm \sqrt8=\pm2\sqrt 2$. Por otro lado, razonando de igual forma, $x^2=1$, se tiene $x=\pm 1$. Por tanto, las soluciones $x^4-9x^2+8=0$ son $2\sqrt 2$, $-2\sqrt 2$, $1$ y $-1$.
Ejercicio. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:
- $x^4-5x^2+4=0$
- $x^4+3x^2+2=0$
- $x^2+3x^2-4=0$
- $(x^2-2)^2=1$
- $\dfrac{3x^4-1}{4}+\dfrac 1 2\left (x^4-2-\dfrac 1 2x^2\right )=\dfrac{x^2-5}{4}$
Ecuaciones trinomias reducibles a una ecuación de 2º grado.
Otro tipo particular de ecuaciones polinómicas son aquellas que se pueden reducir, mediante un cambio de variable, a una ecuación de segundo grado. Estas son equivalentes a unas del tipo $ax^{2n}+bx^n+c=0$. En este caso, el cambio de variable o de incógnita es $t=x^n$.
Ya que $x^{2n}=(x^n)^2$. El razonamiento es el mismo que el usado para las ecuaciones bicuadradas. ¿Cómo vamos a identificar este tipo de ecuaciones? Primero tenemos que observar que la ecuación tiene tres términos. Una vez hecho esto, lo que hacemos es coger el término de mayor grado de la ecuación y ver si se puede expresar como $(x^n)^2$. Si esto se puede hacer, vemos si tiene el término de grado $n$ y el independiente.
Veamos un ejemplo.
Resuelve la ecuación $x^6-9x^3+8=0$. Observamos en primer lugar que la ecuación tiene tres términos. Nos fijamos en el término de mayor grado: $x^6=x^{2\cdot 3}=(x^3)^2$. Además observamos que tenemos un término de grado tres y el término independiente. Por tanto, hacemos el cambio de variable $t=x^3$, quedando la ecuación $t^2-9t+8=0$. Si resolvemos esta ecuación de segundo grado:
$t=\dfrac{9\pm\sqrt{81-4\cdot 8}}{2}=\dfrac{9\pm\sqrt{49}}{2}=\dfrac{9\pm7}{2}$
Obtenemos las soluciones $t=8$ y $t=1$. Pero estas no son las soluciones, debemos deshacer el cambio.
- $t=8$ y por otro lado $t=x^3$ de donde obtenemos que $x^3=8$. Tiene como solución $x=\sqrt[3]8=2$. Comprueba que no tiene ninguna solución más. Para ello, considera el polinomio $x^3-8$ y comprueba que solo tiene la raíz 3.
- $t=1$ y por otro lado $t=x^3$ de donde obtenemos que $x^3=1$. Así, la solución que tenemos es $x=1$. Se prueba, al igual que el otro caso, solo tiene esa solución.
- $x^6+2x^2-3=0$
- $x^{10}-622x^5-1875=0$
Ecuaciones. Conceptos básicos.
Antes de empezar a resolver los distintos tipos de ecuaciones en los que hemos dividido el tema, sería conveniente recordar la definición de ecuación, solución y de ecuaciones equivalentes.
Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas que se verifica para algunos valores de las letras. A esas letras se le conoce con el nombre de incógnitas. Los valores que le asignamos a las letras de tal forma que hace cierta la igualdad numérica reciben el nombre de solución de la ecuación.
Diremos que dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
Resolver una ecuación no es más que la búsqueda de las soluciones de una ecuación. Para resolver una ecuación nos basábamos en la trasposición de términos:
- Si a los dos miembros de una ecuación le sumamos o restamos la misma expresión algebraica obtenemos una ecuación equivalente ala primera.
- Si a los dos miembros de una ecuación lo multiplicamos o dividimos por una número distinto de cero obtenemos una ecuación equivalente a la dada.
Sería interesante pensar en el segundo punto de la trasposición de términos. Pero, surge una pregunta: ¿qué ocurre si a una ecuación a los dos miembros de una ecuación se le multiplica por una expresión algebraica? ¿Sale una ecuación equivalente a la dada? Para ayudarte, te doy una indicación: prueba con la ecuación $x+1=2$ cuya solución es $x=1$. Ahora haz dos casos: el primero, multiplica los dos miembros por $x^2+1$ y el segundo caso, multiplica los dos miembros por $x^2-1$. Intenta deducir qué es lo que ocurre y saca conclusiones.
Aquellos que obtengan la solución, no dudéis en enviármelo por e-mail y obviamente, lo contaré para la segunda evaluación, ya que para esta no lo voy a poder hacer.
Disculpas e inicio de tema
Estimad@s alumn@s, siento mucho haber tardado tanto en poner algo, pero como sabéis mi reciente parternidad me tiene absorbido y en cuanto tengo un poco de tiempo, lo uso para dormir ya que mi peque demanda nuestra atención toda la noche.
Dicho esto y sabiendo que estáis avanzando demasiado rápido, he decidido, en la medida de lo posible, explicar poco a poco todas las ecuaciones al ritmo y nivel que me gustaría.
El tema lo he dividido en ecuaciones polinómicas, racionales, irracionales, logarítmicas y exponenciales. Así que haré una entrada por cada tipo de ecuación y los ejercicios que os ponga, sería interesante que los hicierais para una mejor comprensión.
Espero que os sirva lo que os voy a poner.
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