A continuación pongo ejercicios relacionados con el teorema del resto y del factor.
Ejercicio 1. Busca un polinomio $P(x)$ de grado 3 que verifique las siguientes condiciones:
- $P(x)$ tenga a $-2$ como raíz doble.
- Al dividir $P(x)$ por $x$ da resto $-1$.
- El coeficiente principal de $P(x)$ es $2$.
Solución:
El polinomios $P(x)$ tiene a $-2$ como raíz doble. Esto significa que $-2$ y $-2$ son raíces del polinomio $P(x)$. Por tanto, usando el teorema de factor se obtiene que $P(x)=(x-2)^2Q(x)$ donde $Q(x)$ es un polinomio a determinar. Obviamente el polinomio $(x-2)^2$ tiene grado 2 y como $P(x)$ tiene grado 3, entonces fuerza a que el grado de $Q(x)$ sea 1, por tanto, $Q(x)=ax+b$, donde $a$ y $b$ son números reales que determinaremos a continuación. Como al dividir el polinomios $P(x)$ entre $x$ (que es lo mismo que $x-0$) da de resto $-1$, entonces usando el teorema del resto junto con esa información, obtenemos que $P(0)=-1$. Sin embargo, como $P(x)=(x-2)^2(ax+b)$ tenemos que $P(0)=4b$. Por lo tanto, $b=-\dfrac 1 4$. Así, el polinomio queda:
$$P(x)=(x-2)^2\left (ax-\dfrac 1 4\right )$$ y el término principal de $P(x)$ viene de multiplicar $x^2$ que nos da el producto notable con $ax$. Luego, el coeficiente principal de $P(x)$ es $a$ y como tiene que ser dos, pues $a=2$.
Ejercicio 2. Sabiendo que $2$, $3$ y $-1$ son ceros de un polinomio de tercer grado y que el coeficiente del término de mayor grado es 5, escribir el polinomio.
Solución:
Este ejercicio es fácil. Lo único que tenemos que usar es el teorema del factor. Como $2$, $3$ y $-1$ son ceros del polinomio, llamémosle $P(x)$, entonces es lo mismo que decir, que $2$, $3$ y $-1$ son raíces de $P(x)$. Así que usando, en tres ocasiones, el teorema del factor, tenemos que $P(x)=a(x-1)(x-3)(x+1)$ donde $a$ es un número real que no es más que el coeficiente principal de $P(x)$. Como nos dice que el coeficiente del término de mayor grado es 5 y dicho coeficiente es el coeficiente principal, entonces, $a=5$ y por tanto,
$$P(x)=5(x-2)(x-3)(x+1)$$
Ejercicio 3. Calcula el valor de $a$ para que al dividir el polinomio $P(x)=x^3-ax+8$ por $x+2$, dé de resto 2.
Solución:
Para calcular el valor de $a$ solo tenemos que usar el teorema del resto. Como sabemos el resto de la división de $P(x):(x+2)$ es $P(-2)$(por el teorema) y por otro lado es 2, por tanto, $P(-2)=2$. Calculemos $P(-2)$:
$$P(-2)=(-2)^3-a\cdot (-2)+8=-8+2a+8=2a$$
Como $P(-2)=2$ se tiene que $2a=2$ luego $a=1$ y $P(x)=x^3-x+8$
Ejercicio 4. Razona por qué los polinomios $x-1$, $x+1$ y $x^2-25$ son posibles divisores del polinomio $x^3-x^2-25x+25$.
a) ¿Por qué $x-3$ no puede serlo?
b) Descompón en factores dicho polinomio.
Solución:
La primera cuestión está basada en el teorema del factor y cómo buscamos las candidatas a raíces enteras. Viendo el polinomio, decimos que las candidatas al raíces enteras son los divisores del término independiente $25$, esto es, $\pm 1$, $\pm 5$ y $\pm 25$. Si $1$ es candidata a ser raíz entonces, usando el teorema del factor, $x-1$ es un posible divisor del polinomio. Lo mismo le ocurre a $-1$ dando a $x+1$ como posible divisor del polinomio. Pero, ¿$x^2-25$? Observamos que $x^2-25=(x+5)(x-5)$. Por tanto, como $5$ y $-5$ son candidatas a raíces enteras, entonces $x-5$ y $x+5$ son candidatos a ser divisores del polinomio, pero si lo fueran, entonces también lo sería el producto.
$x+3$ no podría ser un candidato a ser ser divisor, en principio, porque de serlo debería ocurrir que $-3$ sería divisor de $25$ y no lo es.
En cuanto a la factorización, siguiendo el procedimiento visto en clase,
$$P(x)=(x-1)(x-5)(x+5)$$A lo largo del día iré poniendo más para comentarlos mañana en clase.