Solución:
Lo primero que tenemos que hacer es estudiar la información que nos facilita el enunciado.
- $f''(x)=\dfrac 1 x$. Al ser la segunda derivada la que nos da como información, debemos integrar dos veces para poder obtener la función $f$. Ahora veremos con todo detalle cómo hacerlo.
- La gráfica de $f$ tiene tangente horizontal en el punto $P(1,1)$. De esta frase obtenemos que pasa por el punto $P(1,1)$ esto es, $f(1)=1$ y al ser tangente horizontal en dicho punto, obtenemos que $f'(1)=0$.
Empecemos por 1. Sabemos que si $F$ es una primitiva de $f$ en $I$(con $I\subset \mathbb R$), entonces $F'(x)=f(x)$ para todo $x\in I$. Además, se tiene que: $\displaystyle \int f'(x)\, dx=f(x)+C$ $\forall C\in \mathbb R$
Por tanto, tenemos que $f'(x)+C=\displaystyle \int f''(x)\, dx=\int \dfrac 1 x\, dx=\ln(x)$, donde $\ln(x)$ denota el logaritmo neperiano de $x$. Pero, ¿cómo calculo la constante $C$? Pues, si recordamos 2., dijimos que $f'(1)=0$, por lo que sustituyendo, tenemos que $f'(x)=\ln(x)$.
Razonando de la misma forma, tenemos que:
$\displaystyle \int f'(x)\, dx=f(x)+D$ siendo $D\in \mathbb R$ la constante de integración. De donde, para calcular $f$ debemos calcular: $\displaystyle \int \ln(x)\, dx$. Esta integral indefinida se resuelve por el método por partes, tomando como $u=\ln(x)$ y como $dv=dx$, de donde, tendríamos que $du=\dfrac 1 x\, dx$ y $v=x$ y aplicando la fórmula:
$\displaystyle \int \ln(x)\, dx=x\ln(x)-\int x\cdot \dfrac 1 x\, dx=x\ln(x)-\int \, dx=x\ln(x)-x+D$
Obsérvese que todo lo que estamos haciendo tiene sentido porque estamos en la semirrecta $I=(0,+\infty)$. Además, hemos simplificado $x$ con $\dfrac 1 x$. Pero eso es factible, porque $x\neq 0$.
Finalmente, nos quedaría calcular $D$ usando que $f(1)=1$. De aquí deducimos que $D=2$ y la función buscada es $f(x)=x\ln(x)-x+2$. Obsérvese que el dominio que tiene esta función es el que nos daba el enunciado. La gráfica siguiente muestra la función $f$, la recta horizontal y el punto en cuestión.
