Una ecuación se dice que irracional cuando la incógnita $x$ se encuentra bajo un signo radical. por ejemplo, $\sqrt x-x=0$ o $\sqrt[3]{2x-1}-\sqrt x=x$.
Supongamos que solo tenemos un radical de índice dos. Luego generalizaremos para el resto de radicales.
Para este tipo de ecuaciones debemos seguir los siguientes pasos. Para ello, iremos realizando un ejemplo para que se entienda poco a poco.
Resolver la ecuación irracional: $\sqrt{x+11}+1=x$.
Paso 1. Aislamos el radical en uno de los miembros. En nuestro caso, dejamos el radical en el primer miembro y transponemos el $1$ al segundo miembro:
$\sqrt{x+11}+1=x\Leftrightarrow \sqrt{x+11}=x-1$
Paso 2. Elevamos, ambos miembros de la igualdad, al cuadrado(porque el índice es 2). Así eliminamos el radical y obtenemos una ecuación polinómica.
$(\sqrt{x+11})^2=(x-1)^2\Leftrightarrow x+11=x^2-2x+1$
Paso 3. Transponemos todos los términos a un solo miembro y resolvemos la ecuación polinómica que nos sale: $x^2-3x-10=0$. Al resolver esta ecuación de segundo grado, obtenemos como soluciones $x=5$ y $x=-2$. Estas soluciones son candidatas puesto que al resolver la ecuación irracional y eliminar el radical, cometemos un error(en este caso, $\sqrt{x^2}=x$ es falso, en verdad es, $\sqrt{x^2}=|x|$)
Paso 4. Comprobamos cuáles son las soluciones en $\sqrt{x+11}=x+1$.
- $x=5$: ¿$\sqrt{5+11}=5-1$? ¿$\sqrt{16}=4$? La respuesta es afirmativa, por lo tanto, $x=5$ sí es solución de la ecuación irracional.
- $x=2$: ¿$\sqrt{-2+11}=-2-1$? ¿$\sqrt{9}=-3$? La respuesta es negativa, por lo tanto, $x=-2$ no es solución de la ecuación irracional.
Resuelve la ecuación irracional: $2-3\sqrt x=-x$.
Siguiendo con los pasos anteriores, tenemos:
$2-3\sqrt x=-x\Leftrightarrow 2+x=3\sqrt x\Leftrightarrow (2+x)^2=(3\sqrt x)^2\Leftrightarrow x^2+4x+4=9x \Leftrightarrow x^2-5x+4=0$
Esta ecuación de segundo grado tiene como soluciones $x=1$ y $x=4$. Veamos si son o no soluciones de mi ecuación irracional.
- $x=1$: ¿$2-3\sqrt 1=-1$? ¿$2-3\cdot 1=-1$? La respuesta es afirmativa, por lo que, $x=1$ es solución de la ecuación irracional.
- $x=4$: ¿$2-3\sqrt 4=-4$? ¿$2-3\cdot 2=-4$? La respuesta es afirmativa, por lo que, $x=4$ es solución de la ecuación irracional.
¿Cómo resolvemos una ecuación irracional si en lugar de tener un solo radical tiene dos? Pues la idea para resolverla es muy sencilla. Eliminamos un radical mediante los pasos anteriores. Después observaremos que nos quedará otro radical y volvemos a realizar los pasos para su eliminación. Veamos un ejemplo para que quede más claro.
Resuelve la ecuación irracional: $\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}=5$.
Si aislamos el primer radical en el primer miembro y el segundo lo transponemos al segundo y, elevando al cuadrado:
$\sqrt{x+1}=5-\sqrt{2x+3}\Leftrightarrow (\sqrt{x+1})^2=(5-\sqrt{2x+3})^2\Leftrightarrow x+1=2x+3+25-10\sqrt{2x+3}$
Volviendo a aislar el radical que aparece en el segundo miembro, transponiendo el resto de términos de ese miembro al primero y agrupando términos semejantes:
$x+1-2x-3-25=-10\sqrt{2x+3}\Leftrightarrow-x-27=-10\sqrt{2x+3}\Leftrightarrow x+27=10\sqrt{2x+3}$
Volvemos a elevar los dos miembros al cuadrado, operando convenientemente, transponiendo todos los términos a un mismo miembro y agrupando términos semenjantes:
$(x+27)^2=(10\sqrt{2x+3})^2\Leftrightarrow x^2+54x+729=100(2x+3)\Leftrightarrow x^2+54x+729=200x+300\Leftrightarrow x^2-146x+429=0$
Esta ecuación de segundo grado nos da como soluciones $x=143$ y $x=3$. Veamos si son o no soluciones de la ecuación irracional.
- $x=143$: ¿$\sqrt{143+1}+\sqrt{2\cdot 143+3}=5$? ¿$\sqrt{144}+\sqrt{289}=5$? ¿$12+17=5$? La respuesta a la pregunta es negativa, por lo que, $x=143$ no es solución de la ecuación racional.
- $x=3$: ¿$\sqrt{3+1}+\sqrt{2\cdot 3+3}=5$? ¿$\sqrt 4+\sqrt 9=5$? ¿$2+3=5$? La respuesta es afirmativa, por lo que, $x=3$ es solución de la ecuación irracional.
¿Qué ocurre si en lugar de dos tiene tres? Pues se hace de forma análoga al anterior pero en lugar de dos veces se hace tres. Se deja al lector que resuelva la ecuación:
$\sqrt{x+5}+\sqrt x=\sqrt{7x-3}$
y que compruebe que la única solución que tiene es $x=4$.
Hay gran variedad de este tipo de ecuaciones, como por ejemplo:
Resuelve la ecuación: $\dfrac{2\sqrt x}{4+\sqrt{x-5}}=\dfrac{4-\sqrt{x-5}}{\sqrt{x-5}}$.
A simple vista parece que la ecuación es muy difícil. Pero nada más lejos de la realidad. Al tener una igualdad entre fracciones, el primer paso es multiplicar en cruz:
$\dfrac{2\sqrt x}{4+\sqrt{x-5}}=\dfrac{4-\sqrt{x-5}}{\sqrt{x-5}}\Leftrightarrow 2\sqrt x\cdot \sqrt{x-5}=(4+\sqrt{x-5}) (4-\sqrt{x-5})$
En el primer miembro usamos la propiedad del producto de radicales y en el segundo miembro tenemos una suma por diferencia:
$2\sqrt{x(x-5)}=16-(\sqrt{x-5})^2 \Leftrightarrow 2\sqrt{x^2-5x}=16-(x-5)\Leftrightarrow2\sqrt{x^2-5x}=16-x+5\Leftrightarrow 2\sqrt{x^2-5x}=21-x$
Elevando los dos miembros al cuadrado, operamos, transponemos todos los términos a un miembro y agrupamos términos semejantes:
$(2\sqrt{x^2-5x})^2=(21-x)^2\Leftrightarrow 4(x^2-5x)=x^2-42x+441\Leftrightarrow 3x^2+22x-441=0$$
Nos da como soluciones $x=9$ y $x=-\dfrac{49}{3}$. Veamos si son o no soluciones de la ecuación irracional. Como la segunda solución es negativa, entonces, $\sqrt x$ para $x=-\dfrac{49}{3}$ no tendría sentido. Sustituyendo por $x=9$:
¿$2\dfrac{\sqrt 9}{4+\sqrt{9-5}}=\dfrac{4-\sqrt{9-5}}{\sqrt{9-5}}$? ¿$\dfrac{6}{4+\sqrt 4}=\dfrac{4-\sqrt{4}}{\sqrt{4}}$? ¿$\dfrac{6}{6}=\dfrac{2}{2}$?
La respuesta es afirmativa, por lo que, $x=9$ es solución de la ecuación irracional.
Veamos un último ejemplo distinto a los anteriores. En este caso el índice va a ser tres. Ahora los pasos a seguir son los mismos que en el caso anterior, pero en lugar de elevar al cuadrado, elevaremos al cubo. Además como las raíces de índice impar existen para cualquier valor real, las soluciones que obtengamos de la ecuación polinómica serán soluciones de la ecuación irracional, perdiendo el sobrenombre de candidatas.
Resuelve la ecuación $\sqrt[3]{x^2-1}+1=x$.
Aislando la raíz cúbica y elevando al cubo, tenemos:
$\sqrt[3]{x^2-1}+1=x \Leftrightarrow \sqrt[3]{(x^2-1)}=x-1\Leftrightarrow (\sqrt[3]{x^2-1})^3=(x-1)^3$
Operando, transponiendo términos a un miembro y agrupando términos semejantes obtenemos:
$x^3-4x^2+3x=0\Leftrightarrow x(x^2-4x-3)=0$
De ahí obtenemos que $x=0$ y $x^2-4x-3=0$. Si resolvemos esta última ecuación de segundo grado tenemos como soluciones $x=1$ y $x=3$.
Si veis esta entrada de mi blog aparecen algunas ecuaciones irracionales.
Si tenéis alguna duda o veis algún fallo, por favor hacérmelo saber.