Nos piden que resolvamos la integral indefinida $\displaystyle \int x\cdot \sin^2(x)\, dx$. Como se puede observar el integrando es una función que es producto de una función polinómica por otra trigonométrica. Hasta ahí bien, sin embargo, no hemos caído en la cuenta de que la función trigonométrica está elevada al cuadrado. Si nos disponemos a realizarla por partes, llamamos $u=x$, por tanto, $du=dx$ y $dv=\sin^2(x)\, dx$. Aquí, ya tenemos el primer problema al calcular $v$. ¿Cómo calculamos $v$? Pues, como he dicho en alguna otra entrada, siempre es preferible saber un poco más sobre las propiedades de las funciones trigonométricas. Por ello, es importante saber que:
$\displaystyle \cos^2(x)=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}\ \ \ ;\ \ \ \sin^2(x)=\dfrac{1-\cos(2x)}{2}$
Si utilizamos estas igualdades para calcular $v$, la integral indefinida se vuelve tediosa y más complicada de la que teníamos. Por ello, podemos aprovechar estas igualdades para sustituir en el integrando inicial. Así, la integral indefinida que tenemos que calcular se convierte en:
$\displaystyle \int x\sin^2(x)\, dx=\int x\left (\dfrac{1-\cos(2x)}{2}\right )\, dx=\dfrac 1 2\int x\, dx-\dfrac 1 2\int x\cos(2x)\, dx=\dfrac{\ x^2}{4}-\dfrac 1 2\overbrace{\int x\cos(2x)\, dx}^{I}$ (*)
Calculemos la expresión de $I$. En este caso, ya sí es producto de una función polinómica por una función trigonométrica deseada. Así, llamamos $u=x$, entonces $du=dx$ y $dv=\cos(2x)$, entonces, $v=\displaystyle \int \cos(2x)\, dx=\dfrac 1 2\sin(2x)$. De donde:
$\displaystyle I=\dfrac x 2\cdot \sin(2x)-\dfrac 1 2\int \sin(2x), dx=\dfrac x 2\cdot \sin(2x)+\dfrac 1 4 \cos(2x)+C$
siendo $C\in \mathbb R$ la constante de integración. Sustituyendo la expresión de $I$ en (*) se tiene que:
$\displaystyle \int x\cdot \sin^2(x)\, dx=\dfrac{\ x^2}{4}-\dfrac 1 2 \cdot \left (\dfrac x 2\sin(2x)+\dfrac 1 4 \cos(2x)+C\right )=\dfrac{\ x^2}{4}-\dfrac x 4\sin(2x)-\dfrac 1 8 \cos(2x)+K$
donde $K=\dfrac C 2\in \mathbb R$ es la constante de integración.