$XB(A+A^2)-(XB-B^2)\cdot A-B^2A=A$
Solución:
Lo primero que vamos a realizar es la propiedad distributiva, teniendo mucho cuidado con la multiplicación de matrices pues que no es conmutativa. Así nos queda:
$XBA+XBA^2-XBA+B^2A-B^2A=A$
Simplificando $XBA$ y $B^2A$, nos queda: $XBA^2=A$.
Ahora ya es fácil pero hay que tener cuidado a la hora de multiplicar para despejar la matriz $X$:
$XBAA=A$ Multiplicamos por la derecha por $A^{-1}$(que sabemos que existe porque $A$ es regular):
$(XBAA)A^{-1}=AA^{-1}$ por la propiedad asociativa y definición de la matriz inversa:
$XBA(AA^{-1})=I$ donde $I$ es la matriz identidad del mismo orden que $A$. Definición de matriz inversa:
$XBA=I$ Volvemos a multiplicar por $A^{-1}$ por la derecha, propiedad asociativa y definición de matriz inversa:
$XB=A^{-1}$ multiplicamos por $B^{-1}$ por la derecha, propiedad asociativa y definición de matriz inversa:
$X=A^{-1}\cdot B^{-1}$ Propiedad del producto de matrices regulares: $B\cdot A$ es regular y además $(BA)^{-1}=A^{-1}\cdot B^{-1}$.
$X=(BA)^{-1}$.
Por tanto, la solución de la ecuación que se busca no es más que la inversa del producto $BA$.