Fórmulas identidades trigonométricas. Aplicaciones.

Aprovecho esta entrada para enumerar las distintas propiedades que tienen las razones trigonométricas y las usaré para demostrar algunas identidades trigonométricas.

Las más básicas que hay que saber son $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$, la identidad fundamental de la trigonometría $\sin^2 x+\cos ^2x=1$, y de que  ésta, se obtiene: $1+\tan^2x=\dfrac{1}{\cos^2x}$. Cualquier duda sobre los conceptos básicos de la trigonométria podéis consultarlos los apuntes de trigonometría de 1ºBachillerato de Ciencias que se encuentran en MaTeX. Son buenísimos. En caso de que surgan dudas, por favor escribir aquí.

Ecuaciones logarítmicas

Una ecuación logarítmica es una ecuación en el que la incógnita queda afectada por un logaritmo.  

Por ejemplo, $\log(x)-3=2$ o $\log_2(x^2-3)=2+\log_2(x-1)$ son ecuaciones  logarítmicas porque la incógnita está dentro del logaritmo. Sin embargo, $x-x^3-\log(6)=0$ no es una ecuación logarítmica porque la incógnita $x$ no se encuentra dentro del logaritmo.

Integración por reducción

Nos piden que probemos para todo $n\in \mathbb N$:

 $\displaystyle \int(a^2-x^2)^n\ dx=\dfrac{x(a^2-x^2)^n}{2n+1}+\dfrac{2na^2}{2n+1}\int(a^2-x^2)^{n-1}\ dx$

Logaritmos

A lo largo de esta entrada definiremos lo que es un logaritmo y sus propiedades.

Definición. Sea $a>0$ con $a\neq 1$, $P>0$, se define el logaritmo en base $a$ de $P$, se denota por $\log_a(P)$, como el exponente al que hay que elevar la base $a$ para que la potencia obtenida nos dé $P$. Matemáticamente podemos escribirlo:

$\log_a(P)=b\Leftrightarrow a^b=P$        (1)

Fracciones algebraicas

A continuación resolveré algunos ejercicios sobre fracciones algebraicas.

Ejercicio 1. Obtén la fracción irreducible en cada uno de los casos:

a) $\dfrac{5x^2-15x}{10x^3+15x^2}$

b) $\dfrac{2x-4}{x^2-4x+4}$

c) $\dfrac{6-x-x^2}{x^2+2x-8}$

d) $\dfrac{x^3-x^2-8x+12}{x^3-6x^2+2x+12}$

Teorema del resto

El teorema del resto dice:

Teorema. Dado $P(x)$ un polinomio y $a\in \mathbb R$. El resto de dividir $P(x)$ entre $x-a$ es $P(a)$. 

Otra variante: el resto de dividir $P(x)$ entre $x+a$ es $P(-a)$.

Un claro ejemplo de aplicación de este teorema puede ser el siguiente:

Halla el valor de $k$ para que el polinomio $P(x)=kx^3+3(k-2)x^2-5kx+8$ sea divisible por $x+2$.

La información que nos da el ejemplo es que $P(x)$ es divisible por $x+2$. Esto quiere decir que el resto de la división es $0$. 

Por otro lado, usando el teorema del resto, se tiene que el resto de la división es $P(-2)$.

Como los dos restos son los mismos, se tiene que $P(-2)=0$. Calculemos $P(-2)$:

$P(-2)=k (-2)^3+3(k-2)(-2)^2-5k(-2)+8=-8k+12(k-2)+10k+8=14k-16$

Si resolvemos $P(-2)=0$ entonces $14k-16=0$, de donde, $k=\dfrac{16}{14}=\dfrac 8 7$.

Derivadas de funciones inversas

La razón de escribir esta entrada fue cuando un seguidor de Unicoos en Facebook preguntaba cómo calcular la derivada de la función $y=\arcsin(x)$ usando el teorema de la función inversa.