Os dejo la hoja que he comentado esta mañana en clase. Para descargar pincha aquí
Buen fin de semana.
Saludos
En este blog vamos a aprender matemáticas y a usar las TICs como ente comunicador en unos casos y como ayuda vital para la resolución de algunos problemas, ya sean analíticos, geométricos,etc. en otros
Ejercicio tipo examen de ecuaciones y sistemas de ecuaciones
Ejercicio 1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)$\sqrt{2x^2-4}=1-\sqrt{x^2-3}$
b)$2x^5+3x^4-2x^3=3x^2$
c)$\displaystyle \dfrac{4}{x^2-1}=x^2-1$
d)$3^{x-1}+3^x+3^{x+1}=39$
e)$\displaystyle \dfrac{\log(5-x^3)}{\log(1-x)}=3$
f)$\log_x(2+x-2x^2)=3$
g)$\sqrt{3x^2+4}+\sqrt{x^2-4}=4$
h)$\log_3(3^x-8)=2-x$
i)$\sqrt{14-x}+\sqrt{11-x}=\dfrac{3}{\sqrt{11-x}}$
j) $\sqrt x+\sqrt{x+5}=\dfrac{10}{\sqrt{x}}$
k)$\dfrac{\sqrt{3x+10}+1}{2-\sqrt{x+3}}=3$
l)$\sqrt{2x+\sqrt{4x-3}}=3$
Ejercicio 2. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:
a) $\left \{\begin{array}{rcl}
3^{x+y}&=&27\\
\log_5(x)+\log_5(y)&=&\log_5(2)\\
\end{array}\right .$
b) $\left \{\begin{array}{rcl}
5\cdot (\log_x(y)+\log_y(x))&=&26\\
x\cdot y&=&64\\
\end{array}\right .$
a)$\sqrt{2x^2-4}=1-\sqrt{x^2-3}$
b)$2x^5+3x^4-2x^3=3x^2$
c)$\displaystyle \dfrac{4}{x^2-1}=x^2-1$
d)$3^{x-1}+3^x+3^{x+1}=39$
e)$\displaystyle \dfrac{\log(5-x^3)}{\log(1-x)}=3$
f)$\log_x(2+x-2x^2)=3$
g)$\sqrt{3x^2+4}+\sqrt{x^2-4}=4$
h)$\log_3(3^x-8)=2-x$
i)$\sqrt{14-x}+\sqrt{11-x}=\dfrac{3}{\sqrt{11-x}}$
j) $\sqrt x+\sqrt{x+5}=\dfrac{10}{\sqrt{x}}$
k)$\dfrac{\sqrt{3x+10}+1}{2-\sqrt{x+3}}=3$
l)$\sqrt{2x+\sqrt{4x-3}}=3$
Ejercicio 2. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:
a) $\left \{\begin{array}{rcl}
3^{x+y}&=&27\\
\log_5(x)+\log_5(y)&=&\log_5(2)\\
\end{array}\right .$
b) $\left \{\begin{array}{rcl}
5\cdot (\log_x(y)+\log_y(x))&=&26\\
x\cdot y&=&64\\
\end{array}\right .$
Ecuaciones irracionales
Os dejo un ejercicio de ecuaciones irracionales. Espero que os sirvan para repasar:
a) $\sqrt{x+5}+\sqrt{3}=\sqrt{x+7}$ No tiene solución
b) $2\sqrt{\sqrt{3x}}=4$ Solución: $x=\dfrac{16}{3}$
c) $\sqrt[3]{2{\sqrt{3x+4}}}=2$ Solución: $x=4$
d) $\dfrac 1 2\sqrt[4]{2\sqrt[3]{x+1}}=1$ Solución: $x=511$
e) $\sqrt[3]{x^3+2x^2}=x+1$ Soluciones: $x=\dfrac{\sqrt 5-3}{2}$ y $x=-\dfrac{\sqrt 5+3}{2}$
f) $\dfrac 1 2-\dfrac{1}{2\sqrt[3]x}=\dfrac{2}{\sqrt[3]{x}}$ Solución: $x=125$
a) $\sqrt{x+5}+\sqrt{3}=\sqrt{x+7}$ No tiene solución
b) $2\sqrt{\sqrt{3x}}=4$ Solución: $x=\dfrac{16}{3}$
c) $\sqrt[3]{2{\sqrt{3x+4}}}=2$ Solución: $x=4$
d) $\dfrac 1 2\sqrt[4]{2\sqrt[3]{x+1}}=1$ Solución: $x=511$
e) $\sqrt[3]{x^3+2x^2}=x+1$ Soluciones: $x=\dfrac{\sqrt 5-3}{2}$ y $x=-\dfrac{\sqrt 5+3}{2}$
f) $\dfrac 1 2-\dfrac{1}{2\sqrt[3]x}=\dfrac{2}{\sqrt[3]{x}}$ Solución: $x=125$
Ecuaciones logarítmicas
Ejercicio 1. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:
a) $\log(\sqrt{3x})+4+\dfrac 1 2\log(5x+1)=1+\log(3)$
b) $\log(3)+(x^2-4x-1) \log(3)=\log\left (\dfrac 1 9\right )$
c) $3\log(x)-\log(32)=\log\left (\dfrac x 2\right )$
d) $2\log(5x-3)+2\log(2x+3)=2$
e) $\log(x)-\log(36)=3$
f) $\log(\sqrt x)-\log(\sqrt 5)=\dfrac 1 2$
g) $\log(3x+1)-\log(2x-3)=1-\log(5)$
h) $\log\left ((2x+1)^2\right )+\log\left ((3x-4)^2\right )=2$
i) $\log\left (\sqrt{3x+10}\right )-\log\left (\sqrt{x+2}\right )=1-\log(5)$
j) $\dfrac{\log(16-x^2)}{\log(3x-4)}=2$
Ejercicio 2. Calcula, en cada caso, el valor de $x\in \mathbb R$:
a) $2500=2000\cdot 1,05^x$
b) $20=\log_x(5)+15$
c) $2\cdot 10^6=x^{12}$
d) $3\cdot 10^{-5}=2^{-50x}$
e) $\log_x(5)+1=\log_x(2)$
a) $\log(\sqrt{3x})+4+\dfrac 1 2\log(5x+1)=1+\log(3)$
b) $\log(3)+(x^2-4x-1) \log(3)=\log\left (\dfrac 1 9\right )$
c) $3\log(x)-\log(32)=\log\left (\dfrac x 2\right )$
d) $2\log(5x-3)+2\log(2x+3)=2$
e) $\log(x)-\log(36)=3$
f) $\log(\sqrt x)-\log(\sqrt 5)=\dfrac 1 2$
g) $\log(3x+1)-\log(2x-3)=1-\log(5)$
h) $\log\left ((2x+1)^2\right )+\log\left ((3x-4)^2\right )=2$
i) $\log\left (\sqrt{3x+10}\right )-\log\left (\sqrt{x+2}\right )=1-\log(5)$
j) $\dfrac{\log(16-x^2)}{\log(3x-4)}=2$
Ejercicio 2. Calcula, en cada caso, el valor de $x\in \mathbb R$:
a) $2500=2000\cdot 1,05^x$
b) $20=\log_x(5)+15$
c) $2\cdot 10^6=x^{12}$
d) $3\cdot 10^{-5}=2^{-50x}$
e) $\log_x(5)+1=\log_x(2)$
Agradecimientos
Aprovecho la entrada del blog para dar las gracias al profesor de Matemáticas D. José Luis Lorente ya que la mayor parte de los ejercicios de repaso del tema 1, los he cogido prestado.
Sería interesante que aquellos que estén interesados visiten su página que tiene bastante y buen material.
Para visitarla pinchen aquí.
Saludos
Sería interesante que aquellos que estén interesados visiten su página que tiene bastante y buen material.
Para visitarla pinchen aquí.
Saludos
Un poco de análisis
Los siguientes ejercicios están sacados del examen de selectividad de Matemáticas II de Junio de 2011 de la Comunidad Autónoma de Madrid. Espero que sirvan para repasar:
Ejercicio 1. Dado el polinomio $P(x)=x^3+ax^2+bx+c$, obtener los valores de $a$, $b$ y $c$ para que se verifiquen las siguientes condiciones:
$F(2)=1,\ \ F(3)=2,\ \ F(4)=6,\ \ F(5)=3\ \ , f(3)=3\ \ $ y $\ \ f(4)=-1$;
hallar:
a) $\displaystyle \int_2^5 f(x)\, dx$ b) $\displaystyle \int_2^3(5f(x)-7)\, dx$ c) $\displaystyle \int_2^4 F(x)f(x)\, dx$
Ejercicio 1. Dado el polinomio $P(x)=x^3+ax^2+bx+c$, obtener los valores de $a$, $b$ y $c$ para que se verifiquen las siguientes condiciones:
- El polinomio $P(x)$ tenga extremos relativos en los puntos de abscisas $x=-1/3$ y $x=-1$.
- La recta tangente a la gráfica de $P(x)$ en el punto $(0,P(0))$ sea $y=x+3$.
$F(2)=1,\ \ F(3)=2,\ \ F(4)=6,\ \ F(5)=3\ \ , f(3)=3\ \ $ y $\ \ f(4)=-1$;
hallar:
a) $\displaystyle \int_2^5 f(x)\, dx$ b) $\displaystyle \int_2^3(5f(x)-7)\, dx$ c) $\displaystyle \int_2^4 F(x)f(x)\, dx$
Repaso tema 1
A continuación escribo una serie de ejercicios del tema 1: Números reales para que repaséis.
Ejercicio 1. Representar y expresar en notación matemática los siguientes intervalos:
a) $A=(-\infty,3]$ b) $B=(-3,5]$ c) $A\cup B$ d) $A\cap B$
Ejercicio 2. Opera y simplifica:
a) $(2\sqrt 3-3\sqrt 2)^2$ b) $\dfrac{1}{(\sqrt 3-\sqrt 2)^2}$ c) $\dfrac{1}{\sqrt{3+\sqrt 2}}$ d) $\sqrt[3]{\dfrac{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt[3]{4}}}}{\sqrt[4]{4\sqrt{8\sqrt[3]{16}}}}}$
Ejercicio 3. Racionaliza la expresión: $\sqrt{\dfrac{2\sqrt 7+1}{2\sqrt 7-1}}$
Ejercicio 4. Simplifica lo máximo posible aplicando las propiedades de las potencias y raíces:
a) $\dfrac{\sqrt[8]{8}\cdot 2^{-\frac 1 3}\cdot \sqrt 2}{2^{\frac 3 5}\cdot 4\cdot \sqrt[4] 8}$ b)$\sqrt{x^2+\sqrt[3]{19x^6+4\sqrt{4x^{12}}}}$ c)$\dfrac 1 3 \sqrt[3]{16}-\dfrac 1 4\sqrt[4]{250}-\dfrac 1 2\sqrt[3]{375}+\sqrt[6]4$
Ejercicio 5. Razonar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
a) $x^{-2}$ es un número entero positivo o cero para cualquier valor de $x\in \mathbb R$.
b) $\sqrt{3-\sqrt[3]{8}}$ es un número irracional.
c) El logaritmo de cualquier número real positivo existe y además siempre es positivo.
Ejercicio 6. Calcula el valor de las siguientes expresiones:
a) $\log_2\left (\dfrac{\sqrt[6]{64}\cdot 4^2}{2^5\cdot \sqrt[3]{512}}\right )$ b) $\log_3\left (\dfrac{27\cdot \sqrt{729}}{81\cdot \sqrt[3]{27}}\right )$ c) $\log_7\left (\dfrac{49\cdot \sqrt[3]{343}}{\sqrt{2401}}\right )$
Ejercicio 7. Sabiendo que $\log(2)\approx 0,3$ y $\log(3)\approx 0,48$, calcular:
a)$\log(8)$ b)$\log(0,048)$ c)$\log\left (\dfrac{\sqrt{0,025}}{8}\right )$ d)$\log\left (\dfrac{3,2^3\cdot 0,64^5}{0,0125\cdot \sqrt[4]{80^3}}\right )$
Ejercicio 8. Expresa con tres cifras significativas y da el error absoluto y relativo que se comete:
a) $958,72$ b)$1,593$ c)$233679$
Ejercicio 1. Representar y expresar en notación matemática los siguientes intervalos:
a) $A=(-\infty,3]$ b) $B=(-3,5]$ c) $A\cup B$ d) $A\cap B$
Ejercicio 2. Opera y simplifica:
a) $(2\sqrt 3-3\sqrt 2)^2$ b) $\dfrac{1}{(\sqrt 3-\sqrt 2)^2}$ c) $\dfrac{1}{\sqrt{3+\sqrt 2}}$ d) $\sqrt[3]{\dfrac{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt[3]{4}}}}{\sqrt[4]{4\sqrt{8\sqrt[3]{16}}}}}$
Ejercicio 3. Racionaliza la expresión: $\sqrt{\dfrac{2\sqrt 7+1}{2\sqrt 7-1}}$
Ejercicio 4. Simplifica lo máximo posible aplicando las propiedades de las potencias y raíces:
a) $\dfrac{\sqrt[8]{8}\cdot 2^{-\frac 1 3}\cdot \sqrt 2}{2^{\frac 3 5}\cdot 4\cdot \sqrt[4] 8}$ b)$\sqrt{x^2+\sqrt[3]{19x^6+4\sqrt{4x^{12}}}}$ c)$\dfrac 1 3 \sqrt[3]{16}-\dfrac 1 4\sqrt[4]{250}-\dfrac 1 2\sqrt[3]{375}+\sqrt[6]4$
Ejercicio 5. Razonar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
a) $x^{-2}$ es un número entero positivo o cero para cualquier valor de $x\in \mathbb R$.
b) $\sqrt{3-\sqrt[3]{8}}$ es un número irracional.
c) El logaritmo de cualquier número real positivo existe y además siempre es positivo.
Ejercicio 6. Calcula el valor de las siguientes expresiones:
a) $\log_2\left (\dfrac{\sqrt[6]{64}\cdot 4^2}{2^5\cdot \sqrt[3]{512}}\right )$ b) $\log_3\left (\dfrac{27\cdot \sqrt{729}}{81\cdot \sqrt[3]{27}}\right )$ c) $\log_7\left (\dfrac{49\cdot \sqrt[3]{343}}{\sqrt{2401}}\right )$
Ejercicio 7. Sabiendo que $\log(2)\approx 0,3$ y $\log(3)\approx 0,48$, calcular:
a)$\log(8)$ b)$\log(0,048)$ c)$\log\left (\dfrac{\sqrt{0,025}}{8}\right )$ d)$\log\left (\dfrac{3,2^3\cdot 0,64^5}{0,0125\cdot \sqrt[4]{80^3}}\right )$
Ejercicio 8. Expresa con tres cifras significativas y da el error absoluto y relativo que se comete:
a) $958,72$ b)$1,593$ c)$233679$
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