En un triángulo isósceles, el lado desigual está sobre los puntos $A(2, 2)$ y $B(5, 3)$. Calcula el tercer vértice sabiendo que se encuentra sobre la recta $x -y+ 1 = 0$.
Solución:
Si llamamos $ABC$ al triángulo isósceles de lado desigual $\overline{AB}$, debemos saber que en un triángulo isósceles la mediatriz del lado desigual pasa por el vértice $C$. Además el problema nos dice que se encuentra sobre la recta de ecuación $x-y+1=0$, entonces el vértice $C$ será la intersección de esta recta con la mediatriz del segmento $\overline{AB}$.
Recordamos que la mediatriz del segmento $\overline{AB}$ es una recta perpendicular a la recta que une los puntos $A$ y $B$ y pasa por el punto medio de esos dos vértices.
Así el punto medio de $A$ y $B$ es $M=\left (\dfrac{2+5}{2},\dfrac{2+3}{2}\right )=\left (\dfrac 7 2,\dfrac 5 2\right )$. Por otro lado, si $m$(siempre que no sea una recta horizontal) es la pendiente de la recta que pasa por $A$ y $B$, entonces la pendiente de la recta perpendicular es $m'=-\dfrac 1 m$. Además sabemos que:
$m=\dfrac{3-2}{5-2}=\dfrac{1}{3}$
Por tanto, la mediatriz tiene como pendiente $m'=-3$. La ecuación en forma punto$-$pendiente de la recta que pasa por un punto $(x_0,y_0)$ y tiene como pendiente $m$, viene dada por: $y-y_0=m(x-x_0)$ o equivalentemente, $y=m(x-x_0)+y_0$. Particularizando para nuestro caso,
$y=-3\cdot \left (x-\dfrac 7 2\right )+\dfrac 5 2$
Si operamos: $y=-3x+13$ es la ecuación de la mediatriz del lado $AB$. Finalmente, como hemos comentado al principio, el vértice $C$ es la solución del sistema:
$\left \{\begin{array}{rcr} 3x+y&=&13\\[0.2cm] x-y&=&-1\\ \end{array}\right .$
La solución de este sistema de ecuaciones es $x=3$ e $y=4$. Concluimos que el vértice buscado es $C(3,4)$.